It doesn't seem to me that it is a "math" issue as we can take the differntial of the internal energy dU and equal it to the infintesimal work (\delta W).
To me, this points to the fact that the 2 mathematical objects are not of different nature.
so there must be some physics subtlety that I am missing...
@jaztrophysicist that doesn't really answer my question (potentially poorly phrased). Why do we choose the sign \delta?
I can easily write W as a function (e.g W(z)=mgz), however I cannot write dW.
Is there a more general case, where \delta W could not be written as a function? And my concept of W is just based on the easier cases. Maybe considering non-conservative forces where W would not be a bijective function, but path dependent?
@jaztrophysicist OK let's think about the short impulse where I can't take the derivative. Then why are we using dU? Even outside equilibrium, U is defined.
This part is really the blocking point dU always exists and it "may" be equal to \delta W (if \delta Q=0) and yet they are not of the same nature. Is it that U is always a function of something (V, n, ...) while W can be arbitrary within the limit of thermodynamics?
(I was aware of \delta being infinitesimally small...).
@jaztrophysicist I actually got it now.
\delta W is defined as the work done by the exterior, so the conjugated quantity (or the generalised force) exists in the exterior, but we can think of cases where the conjugated quantity doesn't exist in the system and therefore you cannot calculate \partial W/\partial x "in the system" but it can still be done "in the exterior"
@jaztrophysicist Dans d (1/2 m v^2) / dt = \vec{F}\cdot \vec{x ;-)} la quantité x existe des 2 côtés de l'équation et je pourrais très bien décider de faire \partial {d (1/2 m v^2) / dt} \partial x = \ partial {\vec{F}\cdot \vec{x)} / \partial x.
Dans le cas dU=\delta W, c'est parce que je ne peux pas nécessairement calculer \partial W / \partial x car x n'existe pas dans le système mais seulement dans l'extérieur (dans les cas un peu bizarre)
@jaztrophysicist Je ne suis pas tout à fait d'accord.
Si on considère un système isolé=système+extérieur et on ignore la chaleur, on peut déterminer la différentiel d'énergie qui est égal à delta W_ext (on pourrait considérer que c'est un dW, si on ignore le fait que le travail est fait par qqch sur qqch).
@jaztrophysicist Comme le travail fait par 1 sur 2 est opposé au travail fait par 2 sur 1, on peut déterminer delta W_sys.
Le système reçoit -delta W_ext, mais la variable interne x de l'extérieur n'a pas besoin d'être une variable interne du système, donc on dW n'aurait pas de sens dans le système.
@jaztrophysicist Je pense que cet exemple là c'est vraiment le truc qui me décrit le mieux ma vision.
On peut déterminer un travail dans le circuit qui est une fonction différentiable, mais dans le barreau métallique I et phi n'ont pas de sens.
C'est pour moi, la seule raison pour laquelle on écrit delta W (sinon en terme de propriétés mathématiques ça doit être similaire à dU)
@jaztrophysicist ben c'est peut être là que le bat blesse (peut-être). Pourquoi on utilise pas delta phi ?
D'autant plus que dans la limite quasistatique, on pourrait très bien imaginer "pratiquement" une série d'impulsion infinitésimal delta phi.
@jaztrophysicist C'est un peu le classique de la thermo, c'est que je me retrouve à tourner en rond...
Je suis tout à fait convaincue que d phi est une différentielle, mais par transitivité pour moi ça veut dire que d W est aussi une différentielle.
D'où mon idée que l'on a faire à seulement une forme différentielle quand on est dans le barreau et une vraie différentielle dans la boucle. On généralise donc à delta W
@jaztrophysicist Du coup, tu as une vision intrinsèquement différente de l'énergie et du travail ?
parce qu'on peut définir une énergie potentielle au repos, si on a définit un référentiel, mais qu'il n'y a pas de travail sans transformation ?
(et il n'y a pas de problème à se répéter car les contours du problème sont un peu flou)
@jaztrophysicist En fait, on en revient à ton idée de départ qui est que W s'est un input du système.
Avec les mains, on a pas besoin de savoir comment le travail a été produit (et même pire on peut choisir un modèle équivalent qui n'a rien à voir avec le modèle réel tant que dW est le même)
@CCochard@jaztrophysicist Je suis peut-être à côté de la plaque, mais comme j'ai eu la même question en prépa pour δθ et que j'ai compris en faisant de la géométrie différentielle bien plus tard, voici un point de vue de matheux sur une notation de physicien.
@CCochard@jaztrophysicist Ce que j'avais retenu, c'est que δmachin était utilisé pour dénoter une forme différentielle qui pourrait n'être pas la différentielle d'une fonction (désolé si ce n'est pas le cas ici, j'ai du mal à suivre la physique). Une forme différentielle (de degré 1, c'est ce qui nous intéresse ici) c'est n'importe quoi qui s'écrit \sum a_i \partial x_i en coordonnées, avec a_i des fonctions du point.
@CCochard@jaztrophysicist Souvent, il n'est pas possible de trouver une fonction f telle que df = \sum a_i \partial x_i. Il y a deux obstructions : la première est le théorème de Schwarz, qui assure que \partial_i\partial_j f = \partial_j\partial_i f, donc il faudrait que \partial_j a_i = \partial_i a_j pour que ça colle (on dit alors que la forme différentielle est fermée).
@CCochard@jaztrophysicist Dans le cas de l'angle θ, on est en dimension 1, toute forme est fermée. Mais ici on a une obstruction topologique : une fonction différentiable sur le cercle ne peut vérifier df = δθ, parce qu'elle augmenterait lorsqu'on fait un tour, alors qu'elle doit avoir une seule et même valeur au point de départ et d'arrivée (qui sont égaux). Cette deuxième obstruction est liée à la simple connexité.
@BrKloeckner@jaztrophysicist On est bien sur la question de formes différentielles, comme tu les as définies. J'ai été obligée de tout réécrire sur une feuille pour bien suivre.
Si je prends les notations de thermo, je peux écrire la différentielle de l'énergie interne dU=sum X_i dx_i avec X_i la force généralisée et x la variable interne. Typiquement on va avoir dU=1/TdS+PdV-mu dn. Jusqu'ici tout va bien.
Donc première question est "est-ce que le choix de dx ou partial x est important ?".
@BrKloeckner@jaztrophysicist Le premier principe de la thermo dit que dU=delta W + delta Q (avec W le travail et Q la chaleur). Donc ici on a une différentielle exacte qui est égale à une quantité qui n'en est pas.
D'où ma perplexité initiale, comment 2 choses égales peuvent être de nature différentes.
La question est d'autant plus complexe (pour moi) car on peut indépendamment déterminer delta W = sum a_i dx_i
@BrKloeckner@jaztrophysicist La réponse, qui me convient, semble être dW n'a pas de sens physique et delta W est intrinsèquement associé à une transformation (au sens thermo) entre un état initial et final
@CCochard@jaztrophysicist Ça typiquement je ne comprends pas ce que ça veut dire. C'est peut-être ce que disait mon prof de physique et qui me laissait comme deux ronds de flan, je ne sais pas interpréter.
@CCochard@jaztrophysicist Attention, il est tout-à-fait possible que la somme de deux formes différentielles non-exactes soit exacte : les formes exactes forment un sous-espace vectoriel, pas son complémentaire ! Je soupçonne donc qu'en général ni δW ni δQ ne sont exactes, mais qu'il se trouve que leur somme l'est.
@jaztrophysicist@CCochard
Well, math has tools to handle that, for example currents, which are (essentially) differential forms with distribution coefficients.
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