🎄Calendrier de l’avent des mathématiques insolites & amusantes, Jour #21🎄
RANGER DES ORANGES 🍊🍊🍊
Les problèmes les plus faciles à poser sont parfois les plus difficiles à résoudre...
La conjecture de Kepler en est un parfait exemple. Elle répond à cette question : quelle est la meilleure façon de ranger des oranges ? c'est-à-dire quelle est la manière de les ranger qui permet d'obtenir la plus grande densité ?
Le grand astronome et mathématicien Johannes Kepler (1571-1630) a eu l'intuition de la solution dès 1611, sans parvenir à la démontrer.
A son époque, les oranges étaient un produit de luxe. Les marchands d'oranges aiment bien les ranger de la manière des Figures 1 et 2. Avec cette disposition, la densité est d'environ 74%, il reste dont environ 26% de place perdue entre les oranges.
La conjecture de Kepler dit qu'il n'existe aucune autre manière de ranger les oranges qui soit plus dense que ça.
Pendant plus de 2 siècles, aucun mathématicien n'a réussi à la démontrer. Gauss a effectué une percée spectaculaire en 1831 mais il n'a pas démontré totalement la conjecture de Kepler.
Il a encore fallu attendre plus de 150 ans pour qu'elle le soit entièrement grâce au mathématicien américain Tom Hales en 1998. La conjecture est donc restée ouverte pendant 387 ans.
La démonstration était tellement difficile qu'elle avait été confiée à 12 rapporteurs mathématiciens pour vérification ! Ce n'est qu'au bout de 4 ans que ces rapporteurs ont déclaré être à « 99% certains » de la validité de la démonstration !
Voilà ! Bien ranger des oranges c'est aussi faire des maths !🥰
@etcetera C'est bien vrai. Cependant, il y a une infinité d'empilements qui ont cette même densité, obtenue par la superposition de plans "hexagonaux compacts" (les empilements bidimensionnels des sphères). Lors de l'ajout d'un deuxième plan "au dessus", il n'y a qu'une façon de le faire. Cela se complique ensuite à partir du troisième plan qui peut être positionné comme le premier, ou décalé à une troisième position.
@etcetera Les successions périodiques de type ABABAB... sont l'empaquettement hexagonal compact (zinc par exemple), et ABCABCABC... le cubique à faces centrées (cuivre par exemple). Il existe d'autres alternances périodiques et non périodiques des A, B et C, dont quelques une correspondent aussi à des empilements existants d'atomes. Le nombre de mots à former avec 3 lettres (A, B, C) dont deux qui se suivent sont différentes est infini.
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